Question

如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點．

(1)求證：；
(2)在平面內求一點，使平面，并證明你的結論；
(3)求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；(3)

試題分析：在空間中直線、平面的平行和垂直關系的判定，求空間中的角，可以用相關定義和定理解決，如(1)中，易證，，所以，，但有些位置關系很難轉化，特別求空間中的角，很難找到直線在平面內的射影，很難作出二面角，這時空間向量便可大顯身手，如果圖形便于建立空間直角坐標系，則更為方便，本題就是建立空間直角坐標系，寫出各點坐標（1）計算即可；(2)設，再由，解出，即可找出點；(3)用待定系數法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量與向量平面的夾角的余弦，從而得到結果.
試題解析：以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系(如圖)，設，則，，，，，，．
(1)因為，所以.       4分
(2)設，則平面，，
，所以，
，所以
∴點坐標為，即點為的中點．         8分
(3)設平面的法向量為．
由得，即，
取，則，，得．
，
所以，與平面所成角的正弦值的大小為      13分