Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.

（1）證明：為定值；

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，過點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，滿足.問：直線是否恒過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）直線過定點(diǎn) .

【解析】

(1) 求導(dǎo)，求得直線PA的方程，將P代入直線方程，求得，同理可知．則，是方程x2﹣2ax﹣4＝0的兩個根，則由韋達(dá)定理求得的值，即可求證為定值；

(2) 設(shè)，.利用點(diǎn)差法可得，同理可得，

結(jié)合垂直關(guān)系可得，又因?yàn)?/span>，兩式作差，可得，，從而可得結(jié)果.

解：（1）法1：拋物線：的準(zhǔn)線為：，故可設(shè)點(diǎn)，

由，得，所以.所以直線的斜率為.

因?yàn)辄c(diǎn)和在拋物線上，所以，.

所以直線的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，

所以，即.

同理，.

所以，是方程的兩個根，所以.

又，所以為定值.

法2：設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為，

由，消去得，

由，化簡得，所以.

由，得，所以.

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

所以，即.

又，

所以為定值.

（2）存在，由（1）知.

不妨設(shè)，則，，即，.

設(shè)，.

則，兩式作差，可得，

所以直線的斜率為，同理可得，

因?yàn)?/span>，所以，

整理得，①

又因?yàn)?/span>，兩式作差，可得，

從而可得直線的斜率為，

所以直線的方程為，

化簡可得，

將①代入上式得，

整理得.

所以直線過定點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.