Question

設平面α∥平面β，AB、CD是兩條異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、C∈α，B、D∈β，求證：MN∥平面α．

Answer 1

【答案】分析：因為AB與CD是異面直線，故MN與AC、BD不平行．在平面α、β中找不到與MN平行的直線，試圖通過證線線平行達到線面平行這一思路受阻；于是轉而考慮通過證面面平行達到線面平行，即需找一個過MN且與α平行的平面．根據M、N是異面直線上的中點這一特征，連接BC，則此時AB、BC共面，即BC為溝通AB、CD的橋梁，再取BC的中點E，連接ME、NE，用中位線知識可證得．
解答：證明：連接BC、AD，取BC的中點E，連接ME、NE，則ME是△BAC的中位線，
故ME∥AC，ME?α，∴ME∥α．
同理可證，NE∥BD．又α∥β，
設CB與DC確定的平面BCD與平面α交于直線CF，則CF∥BD，
∴NE∥CF．而NE?平面α，CF?α，∴NE∥α．
又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，
而MN?平面MNE，∴MN∥平面α．
點評：本題考查平面與平面平行的判定，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．