Question

【題目】設函數定義域為，對于區間，如果存在，，使得，則稱區間為函數的區間.

（Ⅰ）判斷是否是函數的區間;

（Ⅱ）若是函數（其中）的區間，求的取值范圍;

（Ⅲ）設為正實數，若是函數的區間，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

Ⅰ根據新定義，即可求出判斷，

Ⅱ根據新定義和對數函數的性質，即可求出a的取值范圍，

Ⅲ根據新定義和余弦函數的性質可得存在k，，使得，再分類討論即可求出的取值范圍

（Ⅰ）不是函數的區間，理由如下：

因為 對，，

所以 .

所以 均有，

即不存在，，使得.

所以不是函數的區間

（Ⅱ）由是函數（其中的區間，可知

存在，，使得.

所以 .

因為

所以 ，即.

又因為 且，

所以 .

（Ⅲ）因為 是函數的區間，

所以 存在，，使得.

所以

所以 存在，使得

不妨設. 又因為 ，

所以 .

所以 .

即在區間內存在兩個不同的偶數.

①當時，區間的長度，

所以 區間內必存在兩個相鄰的偶數，故符合題意.

②當時，有，

所以 .

（i）當時，有即.

所以 也符合題意.

（ii）當時，有即.

所以 符合題意.

（iii）當時，有即此式無解.

綜上所述，的取值范圍是.