Question

【題目】如圖，已知，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC的同側作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點不含端點A，B，，且，則的最大值為______．

Answer 1

【答案】4

【解析】

以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，求得A，B，C的坐標，可得以AB為直徑的半圓方程，以AC為直徑的半圓方程，設出M，N的坐標，

由向量數量積的坐標表示，結合三角函數的恒等變換可得，再由余弦函數、二次函數的圖象和性質，計算可得最大值．

以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，

可得，，，

以AB為直徑的半圓方程為，

以AC為直徑的半圓方程為，

設，，，，

，可得，

即有，

即為，

即有，

又，，可得，即，

則

，

可得，即，時，的最大值為4．

故答案為：4．