Question

設直線l：2x+y+2=0關于原點對稱的直線為l′，若l′與橢圓x²+

y2

4

=1的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為

1

2

的點P的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

直線l關于原點對稱的直線l′為y=-2x+2，與橢圓聯立

y=-2x+2 x2+ y2 4 =1

∴

x=0 y=2

或

x=1 y=0

則A（0，2），B（1，0），所以AB=

5

∵△PAB的面積為

1

2

，所以AB邊上的高為

5

5

設P的坐標為（a，b），則a2+

b2

4

=1
P到直線y=-2x+2的距離d=

|2a+b-2|

5

=

5

5

∴2a+b-2=1或2a+b-2=-1
∴2a+b=3或2a+b=1
聯立得

2a+b=3 a2+ b2 4 =1

①或

a2+ b2 4 =1 2a+b=1

②
解①得8a²-12a+5=0，因為△=144-160=-16＜0，所以方程無解；
由②得：8a²-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有兩個不相等的根，則對應的b也有兩個不等的根，所以滿足題意的P的坐標有兩個．
故選B．