Question

（2009•重慶模擬）設函數f（x）=

2

cosx(sinx+cosx)- 1 2

．
（I）求函數y=f（x）的周期；
（II）設函數y=f（x）的定義域為A，若x∈[0，

π

2

]∩A，求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式與輔助角公式可將f（x）化為f（x）=

2

sin(2x+ π 4 )

，從而可求其周期；
（Ⅱ）由sin（2x+

π

4

）≠0，可求得x≠

kπ

2

-

π

8

，即A={x|x≠

kπ

2

-

π

8

}，[0，

π

2

]∩A=[0，

3π

8

）∪（

3π

8

，

π

2

]，利用正弦函數的單調性即可求得y=f（x）的值域．

解答：解：（I）∵f（x）=

2

cosx(sinx+cosx)- 1 2

=

2

1 2 sin2x+ 1 2 cos2x

=

2

2 2 sin(2x+ π 4 )

．
=

2

sin(2x+ π 4 )

，
故函數f（x）的周期為：T=π．
（II）∵2x+

π

4

≠kπ⇒x≠

kπ

2

-

π

8

，
∴A={x|x≠

kπ

2

-

π

8

}，
又[0，

π

2

]∩A=[0，

3π

8

）∪（

3π

8

，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，π）∪（π，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，0）∪（0，1]，
∴函數y=f（x）的值域為（-∞，-2

2

]∪[2，+∞）．

點評：本題考查三角函數的求值，著重考查三角函數中的恒等變換應用及正弦函數的性質與應用，屬于中檔題．