Question

設是一個自然數，是的各位數字的平方和，定義數列：是自然數，（，）．
（1）求，；
（2）若，求證：；
（3）當時，求證：存在，使得．

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題是一道新定義題，主要考查歸納推理、數學歸納法、分類討論思想等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力和轉化能力.第一問，由于是a的各位數字的平方和，所以，；第二問，通過題干中給出的的定義設出的值，利用，得到的值，然后用作差法比較和的大小；第三問，由已知條件，由于且，得，由歸納推理得，再用數學歸納法證明一下，因此存在（），有，再分類討論p、q的情況，得出結論.
（1）；
．                       5分
（2）假設是一個位數（），
那么可以設，
其中且（），且．
由可得，．
　　　　　所以．
因為，所以．
而，
所以，即．                          9分
（3）由，即，可知．
同理，可知．
由數學歸納法知，對任意，有．
即對任意，有．
因此，存在（），有．
則，， ，，
可得對任意，，有．
設，即對任意，有．
若，取，，則有．
若，由，可得，
取，，則有．                 14分