Question

已知P、A、B三點共線，且

OP

=m

OA

+n

OB

（m、n∈R且mn＞0），則

1

m

+

4

n

的最小值為

9

．

Answer 1

分析：利用三點共線，可得m+n=1，再利用“1”的代換，結合基本不等式，即可得出結論．

解答：解：∵P、A、B三點共線，且

OP

=m

OA

+n

OB

，
∴m+n=1，
∵mn＞0，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）（m+n）=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9，
當且僅當

n

m

=

4m

n

，即n=2m時，取等號，
∴

1

m

+

4

n

的最小值為9．
故答案為：9．

點評：本題考查三點共線，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，確定m+n=1是關鍵．