Question

下列命題：其中真命題的個(gè)數(shù)為

0

．
①若

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，則P、A、B三點(diǎn)共線；
②已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，則

AB

在

CD

上的投影為-2；
③在△ABC中，“

AB

•

BC

+

AB

2=0”是“△ABC為直角三角形”的充要條件；
④△ABC的面積S△ABC=

1

2

AB

•

AC

•tanA．

Answer 1

分析：①根據(jù)三點(diǎn)共線的條件判斷．②根據(jù)向量的投影的概念判斷．③根據(jù)數(shù)量積的應(yīng)用判斷．④根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷．

解答：解：①若

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，∵

1

2

+

1

3

≠1，∴P、A、B三點(diǎn)不共線，∴①錯(cuò)誤．
②已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，則

AB

在

CD

上的投影為

AB • CD

| CD |

=

-2×3+(-1)×4

22+12

=

-10

5

=-2

5

，∴②錯(cuò)誤．
③在△ABC中，若

AB

•

BC

+

AB

2=0，則|

AB

||

BC

|cos（π-B）+|

AB

|²=0，即|

BC

|cosB=|

AB

|，“△ABC不一定是直角三角形，∴③錯(cuò)誤．
④當(dāng)三角形為直角三角形且A=90°時(shí)，三角形的面積公式S△ABC=

1

2

AB

•

AC

•tanA不成立，∴④錯(cuò)誤．
故真命題的個(gè)數(shù)為0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與平面向量有關(guān) 的命題的真假判斷，要求熟練掌握平面向量的基本應(yīng)用．