已知橢圓
的離心率為
,且過點
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線A C、BD過原點O，若
,
（i） 求
的最值．
（ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值；
(1)
. (2)(i)的最大值為2. (ii)
.即,四邊形ABCD的面積為定值
解析試題分析：(1)由題意
，
，又
， 2分
解得
,橢圓的標準方程為. 4分
(2)設直線AB的方程為
，設
聯立
，得
-①
6分
7分
=
8分
9分
(i)
當k=0(此時
滿足①式),即直線AB平行于x軸時，
的最小值為-2.
又直線AB的斜率不存在時
，所以的最大值為2. 11分
(ii)設原點到直線AB的距離為d，則.
即,四邊形ABCD的面積為定值 13分
考點：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系
點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯立方程，同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解；而對于最值問題，則可將該表達式用直線斜率k表示，然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的長軸長為
，一個焦點的坐標為(1,0)．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點，點P為橢圓的右頂點．
（ⅰ）若直線l斜率k=1，求△ABP的面積；
（ⅱ）若直線AP，BP的斜率分別為
，
，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點M是圓C：
上的一點，且
軸，
為垂足，點
滿足
,記動點的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求
面積S的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知點R（－3,0）,點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上 ,且滿足
，
.
（Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設
為軌跡C上兩點，且
，N(1,0)，求實數
，使
，且
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為
，離心率為
。
（1）若
，求橢圓的方程。
（2）設直線
與橢圓相交于
兩點，
分別為線段
的中點。若坐標原點
在以線段
為直徑的圓上，且
，求
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知橢圓
的離心率為
，定點
，橢圓短軸的端點是
，
，且
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設過點
且斜率不為
的直線交橢圓于
，
兩點.試問
軸上是否存在定點
，使
平分
？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題滿分12分)
已知三點
,曲線
上任一點
滿足
=
(1) 求曲線的方程;
(2) 設
是(1)中所求曲線上的動點,定點
,線段
的垂直平分線與
軸交于點
,求實數
的最小值.
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，該雙曲線又與直線
交于
兩點，且
（
為坐標原點）。
，
為
上任意一點；
，求
的最小值.