Question

某商場經銷某商品，根據以往資料統計，顧客采用的付款期數ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，η表示經銷一件該商品的利潤．
（Ⅰ）求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款，根據對立事件的概率公式得到結果．
（2）根據顧客采用的付款期數ξ的分布列對應于η的可能取值為200元，250元，300元．得到變量對應的事件的概率，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款，
設A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．
知

.

A

表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”
P(

.

A

)=(1-0.4)3=0.216，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-0.216=0.784．
（Ⅱ）根據顧客采用的付款期數ξ的分布列對應于η的可能取值為200元，250元，300元．
得到變量對應的事件的概率
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
∴η的分布列為

η	200	250	300
P	0.4	0.4	0.2

∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．