Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，定點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)， 為的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）求出曲線C1的直角坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)N（x′，y′），Q（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程．（2）的坐標(biāo)為，設(shè)的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，根據(jù)韋達(dá)定理，利用t的參數(shù)意義得

即可得解.

試題解析：

（1）由題意知，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

設(shè)點(diǎn)， ，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，

代入中，得點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為.

（2）的坐標(biāo)為，設(shè)的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得： ，

設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

則， ， .