Question

【題目】設橢圓C： =1（α＞b＞0）經過點（ ， ），且原點、焦點，短軸的端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B．且 ？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵原點、焦點，短軸的端點構成等腰直角三角形，∴b=c，

∵橢圓C： =1（α＞b＞0）經過點（ ， ），∴ =1，

聯立 ，解得b=c=2，a2=8．

∴橢圓E的方程為 =1

（2）解：假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B．且 ．

設圓的方程為：x2+y2=r2，（0＜r＜2）．

設圓的切線為y=kx+m，則 =r，A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯立 ，化為：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

△≥0，可得：9k2+4≥m2．

x1+x2= ，x1x2= ．

∵ ，∴ =x1x2+y1y2=0．

∴（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，

∴ ﹣ +m2=0，

化為：3m2=8+8k2，與 =r聯立，

可得r2= = = ＜4，

因此假設成立，存在圓心在原點的圓，方程為x2+y2= ，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B，且

【解析】（1）由原點、焦點，短軸的端點構成等腰直角三角形，可得b=c．由橢圓C： =1（α＞b＞0）經過點（ ， ），可得 =1，與a2=b2+c2聯立即可得出．（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B．且 ．設圓的方程為：x2+y2=r2 ， （0＜r＜2）．設圓的切線為y=kx+m，可得 =r，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用根與系數的關系及其 ，可得 =x1x2+y1y2=0．化簡整理即可得出．