Question

已知向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．
（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）若

x

=

a

+(cosθ-1)

b

，

y

=-m

a

+cosθ

b

（m≠0，θ∈R）且

x

⊥

y

．求出實數m=f（θ）的關系，并求出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證

a

⊥

b

，只要證明

a

•

b

=0
（2）由

x

⊥

y

可得

x

•

y

=0，利用向量數量積的坐標表示整理可得，m與θ的關系，，結合三角函數與二次函數的性質可求m的取值范圍

解答：解：（1）∵

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0
∴

a

⊥

b

（2）∵

x

⊥

y

∴

x

•

y

=[

a

+(cosθ-1)

b

](-m

a

+cosθ

b

)=0
即-m

a

2+cosθ

a

•

b

-m(cosθ-1)

a

•

b

+cosθ(cosθ-1)

b

2=0
整理可得，-2m+cosθ（cosθ-1）=0
∴m=

1

2

(cos2θ-cosθ)=

1

2

(cosθ-

1

2

)2-

1

8

∵-1≤cosθ≤1
∴-

1

8

≤m≤1

點評：本題主要考查了平面向量的數量積的性質：

a

⊥

b

?

a

•

b

=0；解決本題的難點在于把函數轉化為m=

1

2

(cos2θ-cosθ)時，利用二次函數的性質求解函數的最值時要注意-1≤cosθ≤1的范圍的限制