Question

設橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1相交于A、B兩點,且|AB|=2.又AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為,求橢圓的方程.

Answer 1

橢圓方程為+y²=1.

將橢圓方程與直線方程聯立,消去y并整理得(a+b)x²-2bx+b-1=0.
設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),
則x₁+x₂=,x₁x₂=.
∴|AB|=|x₁-x₂|
=·
=2·
=,
y₁+y₂=1-x₁+1-x₂=2-(x₁+x₂)=,k_OM=.
由題意知
解之,得
故所求橢圓方程為+y²=1.