定義在
上的函數(shù)
滿足：①對任意
都有：
；②當(dāng)
時，
，回答下列問題．
（1）證明：函數(shù)在上的圖像關(guān)于原點對稱；
（2）判斷函數(shù)在
上的單調(diào)性，并說明理由．
（3）證明：
，
.
解析試題分析：（1）利用條件①，令
得出
，令
，得出
，因此是上的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱；（2）利用單調(diào)性定義進行判斷，結(jié)合第（1）小題的結(jié)論進行化簡和①②兩個條件對結(jié)果的符號進行判斷；（3）結(jié)合條件①把左邊式子的第
項化為
，由此左邊可以化為
，再利用第（2）小題的結(jié)論得出
，原不等式得證.
試題解析：（1）令
，
令，則
.
所以，在上是奇函數(shù)． 4分
（2）設(shè)
，則
， 6分
而
，
， 7分
即當(dāng)
時，
．
∴在上單調(diào)遞減． 8分
（3）
，
，
.
. 13分
考點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，轉(zhuǎn)化與化歸思想.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
函數(shù)
（
為常數(shù)）的圖象過原點，且對任意
總有
成立；
（1）若
的最大值等于1，求的解析式；
（2）試比較
與
的大小關(guān)系.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知奇函數(shù)
（1）求實數(shù)
的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出
的圖象；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，試確定實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知定義域為
的函數(shù)
是奇函數(shù).
（Ⅰ）求
值；
（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)關(guān)于
的函數(shù)
有零點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，
恒過定點 (3,2).
(1)求實數(shù)
；
(2)在(1)的條件下，將函數(shù)
的圖象向下平移1個單位，再向左平移個單位后得到函數(shù)
，設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為
，求的解析式；
(3)對于定義在[1,9]的函數(shù)
，若在其定義域內(nèi)，不等式
恒成立，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
新晨投資公司擬投資開發(fā)某項新產(chǎn)品，市場評估能獲得
萬元的投資收益.現(xiàn)公司準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金
（單位：萬元）隨投資收益
（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于
萬元，同時不超過投資收益的
.
（1）設(shè)獎勵方案的函數(shù)模型為
，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型的基本要求.
（2）下面是公司預(yù)設(shè)的兩個獎勵方案的函數(shù)模型：
①
； ②
試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，
.
(Ⅰ)若
，求函數(shù)
在區(qū)間
上的最值；
(Ⅱ)若
恒成立，求
的取值范圍. （注：
是自然對數(shù)的底數(shù)）
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是定義在
上的奇函數(shù),在
上時
．
且
．
的值；
在
上的單調(diào)性，并給予證明．