Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=3S_n+1得，n≥2時(shí)a_n=3S_n-1+1，兩式相減得遞推公式，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否滿足，判斷出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，代入通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）由（I）和題意表示出T_n，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）由題意，a_n+1=3S_n+1，
則當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=3S_n-1+1．
兩式相減，得a_n+1=4a_n（n≥2）．
又∵a₁=1，a₂=4，∴

a 2

a1

=4，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴an=4n-1（n∈N^*），
（Ⅱ）由（I）得，
Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
∴4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，
兩式相減得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n，
整理得，Tn=

3n-1

9

•4n+

1

9

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的S_n與a_n之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，以及錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．