Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，記g（x）= ，若函數g（x）至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，e2+ ]
B.（0，e2+ ]
C.（e2+ ，+∞]
D.（﹣e2﹣ ，e2+ ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定義域為（0，+∞），
又∵g（x）= ，
∴函數g（x）至少存在一個零點可化為
函數f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一個零點；
即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，
則m= =﹣x2+2ex+ ，
m′=﹣2x+2e+ =﹣2（x﹣e）+ ；
故當x∈（0，e）時，m′＞0，
當x∈（e，+∞）時，m′＜0；
則m=﹣x2+2ex+ 在（0，e）上單調遞增，
在（e，+∞）上單調遞減，
故m≤﹣e2+2ee+ =e2+ ；
又∵當x+→0時，m=﹣x2+2ex+ →﹣∞，
故m≤e2+ ；
故選A．
由題意先求函數的定義域，再化簡為方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，則m= =﹣x2+2ex+ ，求導求函數m=﹣x2+2ex+ 的值域，從而得m的取值范圍．