Question

設函數f（x）=（a，b為常數，a≠0），若f（1）=，且f（x）=x只有一個實數根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足關系式：a_n=f（a_n-1）（n∈N且n≥2），又，證明數列{}是等差數列并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（1）=，可得a+b=3，…①
又由f（x）-x=0得：x[ax-（1-b）]=0，
∵方程只有一個實數根，∴ …②
由①②得：a=2，b=1，
則f（x）=
（Ⅱ）證明：由a_n=f（a_n-1）得：a_n=
∴
∴{}是首項為-2005，公差為2的等差數列，
∴=-2005+2（n-1）=2n-2007
∴a_n=
分析：（Ⅰ）由f（1）=，可得a+b=3，根據f（x）-x=0只有一個實數根，可得，從而可求函數解析式；
（Ⅱ）由a_n=f（a_n-1）得：a_n=，從而可得，由此可得{}是首項為-2005，公差為2的等差數列，從而可求數列的通項．
點評：本題考查數列的通項，考查函數的解析式，考查等差數列的證明，確定函數的解析式是關鍵．