Question

（2013•惠州模擬）設函數f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三個零點x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列結論正確的是（　　）

A．x₁＞-1

B．x₂＜0

C．0＜x₂＜1

D．x₃＞2

Answer 1

分析：利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的極值，再根據f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個零點所在的區間，從而得出結論．

解答：解：∵函數f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=±

2 3

3

．
∵當x＜-

2 3

3

時，f′（x）＞0；
在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

2 3

3

，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數在（-∞，-

2 3

3

）上是增函數，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是減函數，在（

2 3

3

，+∞）上是增函數．
故f（-

2 3

3

）是極大值，f（

2 3

3

）是極小值．
再由f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
得 x₁＜-

2 3

3

，-

2 3

3

＜x₂

2 3

3

，x₃＞

2 3

3

．
根據f（0）=a＞0，且f（

2 3

3

）=a-

16 3

9

＜0，得

2 3

3

＞x₂＞0．
∴0＜x₂＜1．
故選C．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的極值，屬于中檔題．