Question

已知點P_n（a_n，b_n）滿足an+1=anbn+1，

bn+1

bn

=

1

1-4 a 2 n

(n∈N*)，且P₁點的坐標是（1，-1）．
（Ⅰ）求過P₁，P₂兩點的直線l的方程，并證明點 P_n在直線l上；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)2(1+a2)2•…•(1+an)2≥

λ

b2b3•…•bnbn+1

對所有n∈N^*成立的最大實數λ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b2=

b1

1-4 a 2 1

=

-1

1-4

=

1

3

，a2=a1b2=1×

1

3

=

1

3

．P2(

1

3

，

1

3

)．過P₁，P₂的直線方程為2x+y-1=0，然后用數學歸納法證明點P_n在直線l：2x+y-1=0上．
（Ⅱ）由a_n+1=a_n•b_n+1=a_n（1-2a_n+1），知

1

an+1

-

1

an

=2．所以{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，2為公差的等差數列．由此能導出λ的最大值是

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）b2=

b1

1-4 a 2 1

=

-1

1-4

=

1

3

，a2=a1b2=1×

1

3

=

1

3

．∴P2(

1

3

，

1

3

)．
過P₁，P₂的直線方程為y+1=

1 3 +1

1 3 -1

(x-1)，即2x+y-1=0．（2分）
下面用數學歸納法證明點P_n在直線l：2x+y-1=0上，即2a_n+b_n=1，n∈N^*成立．
1）當n=12時，2a₁+b₁=13成立；
4）假設n=k（k∈N^*）5時，2a_k+b_k=16成立，則2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)bk+1=(2ak+1)

bk

1-4 a 2 k

=

bk

1-2 a   k

=1．
即n=k+1時，2a_k+1+b_k+1=1也成立．
根據1），2）對所有n∈N^*點P_n在直線l：2x+y-1=0上．（6分）

（Ⅱ）a_n+1=a_n•b_n+1=a_n（1-2a_n+1），∴a_n+1=a_n-2a_n+1a_n∴

1

an+1

-

1

an

=2．
∴{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，2為公差的等差數列．
∴

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，  ∴ an=

1

2n-1

．∴bn=1-2an=

2n-3

2n-1

．（10分）
∴b₂b₃…b_nb_n+1=

1

3

×

3

5

×…×

2n-3

2n-1

1

2

× 

2n-1

2n+1

=

1

2n+1

．
∴不等式(1+a1)2(1+a2)2…(1+ an)2≥

λ

b2b3…  bnbn+1

?[(1+1)(1+

1

3

)•••(1+

1

2n-1

)]2≥λ(2n+1)
?

[(1+1)(1+ 1 3 )…(1+ 1 2n-1 )] 2

2n+1

≥λ
設f（n）=

[(1+1)(1+ 1 3 )…(1+ 1 2n-1 )] 2

2n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

(1+ 1 2n+1 )2(2n+1)

2n+3

=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1
∴f（n）的最小值是f(1)=

4

3

．
∴

4

3

≥λ．即λ的最大值是

4

3

．（14分）

點評：本題考查不等式的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．