Question

【題目】已知函數．（無理數）

（1）若在單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）當時，設函數，證明：當時，．（參考數據）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由函數的單調性與導數的關系可得：在（1，＋∞）恒成立，轉化成h（x）＝（x＋x2）ex－1－ 在（1，＋∞）恒成立，利用導數判斷的單調性，從而可得，問題得解。

（2）當時，，利用導數可得，由及即可判斷存在，），使，即：，由函數單調性可得：，結合二次函數的性質即可證得 ，問題得解。

（1）函數f（x）的定義域為（0，＋∞）

在單調遞增，

在（1，＋∞）恒成立，

設h（x）＝（x＋x2）ex－1－，

由題意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝ex－1（x2＋3x＋1），

當x∈（1，＋∞）時，x2＋3x＋1＞0，

故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）單調遞增，

所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0， ≤2，

綜上∈（－∞，2]．

（2）當＝0時，f（x）＝xex－1，

g（x）＝ex－x2－x，

g'（x）＝ex－2x－1，

設m（x）＝ex－2x－1，

則m'（x）＝ex－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，

當x∈（0，ln2）時，m'（x）＜0，m（x）單調遞減，

當x∈（ln2，＋∞）時，m'（x）＞0，m（x）單調遞增．

因此m（x）≥m（ln2）＝eln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，

即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，

又g'（0）＝0，，

故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，

即，．

當x∈（0，x0）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，

x∈（x0，＋∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，

，

由于x0∈（ln2，），

函數單調遞減，

故

所以，當x＞0時，．