Question

【題目】已知函數 ．
（1）試判斷f （x）的單調性，并證明你的結論；
（2）若f （x）為定義域上的奇函數，求函數f （x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f （x）是增函數．

證明如下：函數f （x）的定義域為（﹣∞，+∞），且 ，

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

則 ．

∵y=2x在R上單調遞增，且x1＜x2，

∴ ，

∴f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），

∴f （x）在（﹣∞，+∞）上是單調增函數

（2）解：∵f （x）是定義域上的奇函數，∴f （﹣x）=﹣f （x），

即 對任意實數x恒成立，化簡得 ，

∴2a﹣2=0，即a=1．（也可利用f （0）=0求得a=1）∴ ，

∵2x+1＞1，∴ ，∴ ，∴ ．

故函數f （x）的值域為（﹣1，1）

【解析】（1）f （x）是增函數，利用單調性的定義進行證明；（2）先求出a，再求函數f （x）的值域．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．