Question

第四屆中國國際航空航天博覽會于2010年11月在珠海舉行，一次飛行表演中，一架直升飛機在海拔800m的高度飛行，從空中A處測出前下方海島兩側海岸P、Q處的俯角分別是45°和30°（如圖所示）．
（1）試計算這個海島的寬度PQ．
（2）若兩觀測者甲、乙分別在海島兩側海岸P、Q處同時測得飛機的仰角為45°和30°，他們估計P、Q兩處距離大約為600m，由此試估算出觀測者甲（在P處）到飛機的直線距離．

Answer 1

分析：（1）先在Rt△ACP中求出PC，再在Rt△ACQ中求出CQ，即可求出這個海島的寬度PQ．
（2）先在△APQ中锝，PQ=600，∠AQP=30°，∠PAQ=45°-30°=15°．再利用正弦定理即可求出PA，即為觀測者甲（在P處）到飛機的直線距離．

解答：解：（1）在Rt△ACP中，

PC

AC

=tan∠CAP，
則PC=800×tan45°=800．（3分）
在Rt△ACQ中，

QC

AC

=tan∠CAQ，則QC=800×tan60°=800

3

．（5分）
所以，PQ=QC-PC=800

3

-800（m）．（7分）
（2）在△APQ中，PQ=600，∠AQP=30°，∠PAQ=45°-30°=15°．（8分）
根據正弦定理，得

PA

sin30°

=

600

sin15°

，（10分）
則PA=

600•sin30°

sin(45°-30°)

=

600•sin30°

sin45°cos30°-cos45°sin30°

=

300

6 - 2 4

=300(

6

+

2

)．
故觀測者甲（在P處）到飛機的直線距離為300（

6

+

2

）．（14分）

點評：本題主要考查解三角形的實際應用．這一類型題目，一般都是借助與正弦定理，余弦定理來求解．