Question

【題目】如圖，已知圓的方程為，過點的直線與圓交于點，與軸交于點，設，求證：為定值．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

先討論當AB與x軸垂直時，此時點Q與點O重合，從而λ=2，μ=，λ+μ=；在討論AB存在斜率時，：=.

證明：當AB與x軸垂直時，此時點Q與點O重合，

從而λ=2，μ=，λ+μ=；

當點Q與點O不重合時，直線AB的斜率存在；

設直線AB的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

則Q（﹣，0）；

由題設，得x1+=λx1，x2+=μx2，

即λ=1+，μ=1+；

所以λ+μ=（1+）+（1+）=2+；

將y=kx+1代入x2+y2=4，得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，

則△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，

所以λ+μ=2+；

綜上，λ+μ為定值．