Question

【題目】如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AB的延長線與DC的延長線交于點E,且CB=CE.

（Ⅰ）證明:∠D=∠E;

（Ⅱ）設AD不是☉O的直徑,AD的中點為M,且MB=MC,證明:△ADE為等邊三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由四點共圓性質可得∠D=∠CBE.再結合條件∠CBE=∠E,得證（2）由等腰三角形性質得OM⊥AD,即得AD∥BC, 因此∠A=∠CBE=∠E.而∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.

試題解析：解: (1)由題設知A,B,C,D四點共圓,所以∠D=∠CBE.

由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.

(2)設BC的中點為N,連結MN,則由MB=MC知MN⊥BC,故O在直線MN上.又AD不是☉O的直徑,M為AD的中點,故OM⊥AD,

即MN⊥AD. 所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.

又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.