Question

【題目】已知等比數列{an}的前n項和Sn ， 首項a1=a，公比為q（q≠0且q≠1）．
（1）推導證明：Sn= ；
（2）等比數列{an}中，是否存在連續的三項：ak、ak+1、ak+2 ， 使得這三項成等差數列？若存在，求出符合條件的等比數列公比q的值，若不存在，說明理由；
（3）本題中，若a=q=2，已知數列{nan}的前n項和Tn ， 是否存在正整數n，使得Tn≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn﹣1，①

∴qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，②

①﹣②可得（1﹣q）Sn=a1﹣a1qn，

當q≠1時，上式兩邊同除以1﹣q可得Sn=

（2）解：不存在存在連續的三項：ak、ak+1、ak+2，使得這三項成等差數列．

證明如下：若ak、ak+1、ak+2成等差數列，則：

∵ak≠0∴q2﹣q+1=0

而

∴不存在存在連續的三項：ak、ak+1、ak+2，使得這三項成等差數列

（3）解：Tn=1×21+2×22+…+n×2n①

2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1 　 ②

① ﹣②得Tn=n×2n+1﹣（21+22+23+…+2n）=（n﹣1）2n+1+2

由于Tn是遞增的，當n=7時 ；

當n=8時 ．

所以存在正整數n，使得Tn≥2016的取值集合為{n|n≥8，n∈N+}

【解析】（1）利用錯位相減法真假求解即可．（2）不存在存在連續的三項：ak、ak+1、ak+2 ， 使得這三項成等差數列．利用等差數列的等差中項列出關系式，推出矛盾結果．（3）利用錯位相減法求出前n項和，通過數列的單調性判斷n=7與8時，推出結果即可．
【考點精析】掌握等比數列的基本性質是解答本題的根本，需要知道{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列．