Question

（2010•九江二模）已知函數f(x)=sin(

π

4

x-

π

6

)-2cos2

π

8

x+1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）若關于x的方程4f2(x)-mf(x)+1=0在x∈(

4

3

，4)內有實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用查兩角和的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為

3

sin(

π

4

x-

π

3

），由此求出函數的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范圍，即得函數的單調遞增區間．
（2）設t=f（x），根據x的范圍求出f（x）∈（0，

3

]，由題意可得方程4t²-mt+1=0在t∈（0，

3

]內有實數解，由基本不等式求得m 的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=sin（

π

4

x-

π

6

)-2cos2

π

8

x+1=sin

π

4

•cos

π

6

-cos

π

4

x•sin

π

6

-cos

π

4

x=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

）…（3分）
∴函數f（x）的最小正周期為8．   …（4分）
令2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得 8k-

2

3

≤x≤8k+

10

3

，k∈z，故函數的單調遞增區間為[8k-

2

3

，8k+

10

3

]，k∈Z…（6分）
（2）設t=f（x），∵x∈（

4

3

，4），∴

π

4

x-

π

3

∈(0，

2

3

π），∴f（x）∈（0，

3

]，
∴方程4t²-mt+1=0在t∈（0，

3

]內有實數解，即當t∈（0，

3

]時方程有實數解．  …（10分）
∵4t+

1

t

≥4當且僅當t=

1

2

時取等號，∴m≥4，…（8分） 故實數m的取值范圍是[4，+∞）． …（12分）

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的周期性、單調性，一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．