Question

【題目】寫出命題“已知a ， b∈R ， 若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．

Answer 1

【答案】解：逆命題：已知a ， b∈R ， 若a2≥4b ， 則關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題．
否命題：已知a ， b∈R ， 若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2<4b ， 為真命題．
逆否命題：已知a ， b∈R ， 若a2<4b ， 則關于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，為真命題．
【解析】寫一個命題的其他三種命題時，需注意：①對于不是“若p ， 則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提；判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例；根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用四種命題間的逆否關系和四種命題的真假關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題；一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：(原命題 逆否命題)①、原命題為真，它的逆命題不一定為真;②、原命題為真，它的否命題不一定為真;③、原命題為真，它的逆否命題一定為真．