Question

【題目】已知函數(shù)，且曲線在處的切線與平行.

（1）求的值；

（2）當時，試探究函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析: （1）根據(jù)曲線在處的切線與平行可得: ,進而求出a值; （2）①當時， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，根據(jù)零點存在性定理可得: 在上只有一個零點.②當時， 恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導判斷單調(diào)性與最值可得，

又時， ，所以，即，故函數(shù)在上沒有零點，③當時， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在性定理可得:函數(shù)在上有且只有一個零點，綜上所述時，函數(shù)有兩個零點.

試題解析:解：（1）依題意，故，

故，解得.

（2）①當時， ，此時， ，

函數(shù)在單調(diào)遞增，

故函數(shù)在至多有一個零點，又，

而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，因此函數(shù)在上只有一個零點.

②當時， 恒成立，證明如下：

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

所以時， ，所以，

又時， ，所以，即，

故函數(shù)在上沒有零點，

③當時， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多有一個零點，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個零點，

綜上所述時，函數(shù)有兩個零點.