Question

有一塊邊長為4的正方形鋼板，現對其進行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）．有人應用數學知識作了如下設計：如圖（a），在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖（b）．
（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V₁；
（2）由于上述設計存在缺陷（材料有所浪費），請你重新設計切、焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積V₂＞V₁．

Answer 1

分析：本題首先設出小正方形的邊長為x，則長方體的長寬都為4-2x，體積等于長×寬×高，求出體積的導數，令其等于零得出最大容積．第二問主要對題意理解清楚，說的是材料有所浪費，想到在兩個角切去小正方形，去下的小正方形焊到對邊上組成新的長方體體積比原來的大．

解答：解：（1）設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x，高為x，
∴V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．
∴V₁′=4（3x²-8x+4）．
令V₁′=0，得x₁=

2

3

，x₂=2（舍去）．
而V₁′=12（x-

2

3

）（x-2），
又當x＜

2

3

時，V₁′＞0；當

2

3

＜x＜2時，V₁′＜0，
∴當x=

2

3

時，V₁取最大值

128

27

．
（2）重新設計方案如下：
如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長方體容器．
新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞V₁．
故第二種方案符合要求．

點評：此題考查利用導數求閉區間的最值以及第二問是開放性問題，考查學生的實際操作能力．