Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，
所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD平面AED，
所以BD⊥平面AED；
（II）解法一：

由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標系，
不妨設CB=1，則C（0，0，0），B（0，1，0），D（ ，﹣ ，0），F（0，0，1），因此 =（ ，﹣ ，0）， =（0，﹣1，1）
設平面BDF的一個法向量為 =（x，y，z），則 =0， =0
所以x= y= z，取z=1，則 =（ ，1，1），
由于 =（0，0，1）是平面BDC的一個法向量，
則cos＜ ， ＞= = = ，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為
解法二：

取BD的中點G，連接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG平面FCG．
所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，
因此CG= CB，又CB=CF，
所以GF= = CG，
故cos∠FGC= ，
所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為
【解析】（Ⅰ）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，結合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF兩兩垂直，因此可以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標系，設CB=1，表示出各點的坐標，再求出兩個平面的法向量的坐標，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；解法二：取BD的中點G，連接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，可證明出∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．