Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,，離心率。
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為,，點(diǎn)P是其上的動點(diǎn)，
（1）當(dāng) 內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上。

Answer 1

（1）
（2）．直線與直線的交點(diǎn)住直線上．

解：（Ⅰ）橢圓的方程       ……3分
（Ⅱ）（1），設(shè)邊上的高為，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因為的周長為定值6．
所以                                       ……5分
當(dāng)P在橢圓上頂點(diǎn)時，最大為，
故的最大值為，
于是也隨之最大值為
此時內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為……7分
（2）將直線代入橢圓的方程并整理．
得．
設(shè)直線與橢圓的C交點(diǎn)，
由根系數(shù)的關(guān)系，得．         ……9分
直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．…11分
下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：
，


因此結(jié)論成立．
綜上可知．直線與直線的交點(diǎn)住直線上．     ……………13分