Question

已知△ABC三邊a，b，c所對的三個角分別為A，B，C，且面積可以表示為S=

1

2

a2-

1

2

(b-c)2，那么角A的正弦值sinA=

4

5

．

Answer 1

分析：由條件及S=

1

2

bcsinA 可得

1

2

a2-

1

2

(b-c)2=

1

2

bcsinA，把余弦定理代入可得 2cosA=2-sinA，平方化簡可得
5sin²A-4sinA=0，由此求得sinA的值．

解答：解：∵△ABC 的面積S=

1

2

a2-

1

2

(b-c)2，且S=

1

2

bcsinA，
∴

1

2

a2-

1

2

(b-c)2=

1

2

bcsinA．
把a²=b²+c²-2bc•cosA 代入化簡可得 2cosA=2-sinA．
平方化簡可得 5sin²A-4sinA=0．
由于sinA≠0，∴sinA=

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系，三角形中的幾何計算，屬于中檔題．