Question

（1）已知△ABC三邊a，b，c成等差數列，求B的范圍；
（2）已知△ABC三邊a，b，c成等比數列，求角B的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯立小于b，得到關于a與c的關系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數的圖象與性質，以及特殊角的三角函數值，根據B為三角形的內角，即可求出B的范圍；
（2）由a，b，c成等比數列，利用等比數列的性質得到b²=ac，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯立小于b，得到關于a與c的關系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數的圖象與性質，以及特殊角的三角函數值，根據B為三角形的內角，即可求出B的范圍．

解答：解：（1）∵△ABC的三邊a，b，c成等差數列，∴2b=a+c，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴消去b化簡得：cosB=

3(a2+c2)

8ac

-

1

4

≥

6ac

8ac

-

1

4

=

1

2

，
又B為三角形的內角，
∴B∈（0，

π

3

]；
（2）∵△ABC的三邊a，b，c成等比數列，∴b²=ac，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴消去b化簡得：cosB=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，
又B為三角形的內角，
∴B∈（0，

π

3

]．

點評：此題考查了余弦定理，等差、等比數列的性質，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．