Question

【題目】如圖，已知直三棱柱中，，，是的中點，是上一點，且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，由三棱柱是直三棱柱，得⊥面,得到，，又在直角三角形中，證得，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面；

（Ⅱ）過作，連接,交于點，過作,交于點，利用線面垂直的判定定理，證得面,得到面，求得，利用體積公式，即可求解。

（Ⅰ）連接，在中，依題意為等腰三角形且，

由面積相等，解得，

由于三棱柱是直三棱柱，故⊥面,

那么.

在直角三角形中，因為，

所以，又由，所以，

又因，故為直角，即，

又由，所以得面，所以,

由,

故面.

（Ⅱ）過作，連接,交于點，過作,交于點，

因為面，所以,

又因,所以面,所以面，

又由，所以，

所以.