Question

如圖，在底面邊長為的正四棱柱A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小為60°，求異面直線BC₁與AC所成角的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證明直線與平面垂直，可以先證明直線與直線垂直，由BD⊥CC₁，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）先將二面角C₁-BD-C的大小為60°，轉化為對應的平面角的大小，根據三垂線定理可知：∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，即∠C₁OC=60°，接著就可以求解異面直線BC₁與AC所成角的大小．求異面直線所成的角，可用幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．連接A₁B，由A₁C₁∥AC，可得∠A₁C₁B是BC₁與AC所成的角．
解答：證明：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ADCD，
∴BD⊥CC₁
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）設BD與AC相交于O，連接C₁O．
∵CC₁⊥平面ADCD
∴BD⊥AC，∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴∠C₁OC=60°．連接A₁B．
∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是BC₁與AC所成的角．
∵BC=，則
CO=1，CC₁=CO•tan60°=．A₁B=BC₁=．A₁C₁=2．
在△A₁BC₁中，由余弦定理得cosA₁C₁B=
點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、異面直線所成的角等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．