Question

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m．
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D₁Q⊥AP，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）以D點為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間坐標系，求出面BDD₁B₁的一個法向量

AC

，以及

AP

，求出這兩向量的夾角，最后求出此角的補角即可；
（2）假設在A₁C₁上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，對任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．等價于

AP

•

D1Q

=0，建立等量關系，求出x即可．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（1，0，0），B（1，1，0），
P（0，1，m），C（0，1，0），
D（0，0，0），B₁（1，1，2），D₁（0，0，2）．
所以

BD

=(-1，-1，0)，  

B B   1

=(0，0，2)，

AP

=(-1，1，m)，  

AC

=(-1，1，0)．
又由

AC

•

BD

=0，  

AC

•

B B   1

=0知

AC

為平面B

B

1

D

1

D的一個法向量．
設AP與面BDD₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=cos(

π

2

-θ)=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+ m 2

=

3

2

，
解得m=

6

3

．故當m=

6

3

時，
直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；（5分）

（2）若在A₁C₁上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，
則Q(x，1-x，2)，  

D1Q

=(x，1-x，0)．
依題意，對任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．等價于

D1Q

⊥

AP

?

D1Q

•

AP

=0?-x+（1-x）=0?x=

1

2

即Q為A₁C₁的中點時，滿足題設的要求．（10分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．