Question

已知 f（x）為R上的可導函數，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0對于x∈R恒成立，則有（　　）

• A、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
• B、f（2）＞e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
• C、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）
• D、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）

Answer 1

分析：先構造函數y=

f(x)

ex

，對該函數進行求導，化簡變形可判定導函數的符號，再判斷增減性，從而得到答案．

解答：解：∵f（x）＜f'（x） 從而 f'（x）-f（x）＞0 從而

ex[f′(x)-f(x)]

e2x

＞0
從而 (

f(x)

ex

)′＞0 從而函數y=

f(x)

ex

單調遞增，故 x=2時函數的值大于x=0時函數的值，
即

f(2)

e2

＞f(0)所以f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）．
故選B．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．