Question

設函數y=f（x）的圖象是曲線C₁，曲線C₂與C₁關于直線y=x對稱．將曲線C₂向右平移1個單位得到曲線C₃，已知曲線C₃是函數y=log₂x的圖象．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設a_n=nf（x）（n∈N^*），求數列{a_n}的前n項和S_n，并求最小的正實數t，使S_n＜ta_n對任意n∈N^*都成立．

Answer 1

（I）由題意知，曲線C₃向左平移1個單位得到曲線C₂，∴曲線C₂是函數y=log₂（x+1）的圖象．…（2分）
曲線C₂與曲線C₁關于直線y=x對稱，∴曲線C₂是函數y=log₂（x+1）的反函數的圖象y=log₂（x+1）的反函數為y=2^x-1
∴f（x）=2^x-1…（4分）
（II）由題設：a_n=n×2ⁿ-n，n∈N^*S_n=（1×2¹-1）+（2×2²-2）+（3×2³-3）+…+（n•2ⁿ-n）=（1×2¹+2×2²+3×2
²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（6分）=(1×21+2×22+3×22+…+n×2n)-

n(n+1)

2

=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)-

n(n+1)

2

①
2S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）②
由②-①得，Sn=-(21+22+23+…+2n)+n×2n+1-

n(n+1)

2

，=-

2-2n+1

1-2

+n×2n+1-

n(n+1)

2

=(n-1)×2n+1-

n2+n-4

2

…（8分）
當t=2，Sn-2an=[(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

]-2(n×2n-n)=-[2n+1+

(n+1)(n-4)

2

]S₁-2a₁=-1＜0，S₂-2a₂=-5＜0，S₃-2a₃=-14＜0
當n≥4時，Sn-2an=-[2n+1+

(n+1)(n-4)

2

]＜0∴當t=2時，對一切n∈N^*，S_n＜2a_n恒成立．
當0＜t＜2時，Sn-2an=[(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

]-t(n×2n-n)=[(2-t)n-2]×2n-

n2+n

2

+tn+2＞[(2-t)n-2]×2n-

n2+n

2

記M=

3

2-t

，則當n大于比M大的正整數時，Sn-tan＞2n-

n(n+1)

2

=[1+n+

n(n-1)

2

+…]-

n2+n

2

＞0
也就證明當t∈（0，2）時，存在正整數n，使得S_n＞ta_n．
也就是說當t∈（0，2）時，S_n≤ta_n不可能對一切n∈N^*都成立．∴t的最小值為2．…（14分）