Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）由題意可證明AD⊥面PAB，E、F分別是線段PA、PD的中點，EF∥AD，從而得證；
（2）取BC的中點M，取DC的中點G，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角．
分別求得EM、EG、MG的長度，再利用余弦定理即可求得異面直線EG與BD所成的角的余弦值．
解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
求得

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
利用

EF

•

AP

=0，

EF

•

AB

=0，可證得EF⊥AP，EF⊥AB，從而可證平面EFG⊥平面PAB．
（2）求得

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，利用向量的夾角公式可求得異面直線EG與BD所成的角的余弦值為

3

6

．

解答：解法一：（1）證明：∵ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，又AB∩PA=A，（2分）
∴AD⊥面PAB．
∵E、F分別是線段PA、PD的中點，
∴EF∥AD，
∴EF⊥面PAB．（6分）
（2）解：取BC的中點M，取DC的中點G，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，（8分）
∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角．（10分）
在Rt△MAE中，EM=

EA2+AM2

=

6

，同理EG=

6

，
又GM=

1

2

BD=

2

，
∴在△MGE中，cos∠EGM=

EG2+GM2-ME2

2EG•GM

=

6+2-6

2 6 • 2

=

3

6

…
故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為

3

6

．（14分）
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）證明：∵

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
∴

EF

•

AP

=0×0+1×0+0×2=0，

EF

•

AB

=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．
又∵AP、AB?面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．又EF?面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAB．
（2）解：∵

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，
故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定與異面直線及其所成的角，著重考查直線與平面垂直的判定定理的應用及余弦定理解三角形的應用，突出考查幾何法與坐標法，屬于難題．