Question

已知A,B分別是橢圓C₁:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C₂:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C₁的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k₁,k₂,k₃,k₄,求證:k₁·k₂+k₃·k₄為定值.

Answer 1

（1）+=1  （2）見解析

(1)解:由解得
∴橢圓C₁的方程為+=1.
(2)證明:由題意知A(-a,0),B(a,0),
設P(x₁,y₁),(x₁≠±a)則+=1,
∴=b²（1-）=(a²-).
設Q(x₂,y₂),(x₂≠±a),則-=1,
∴=b²（-1）=(-a²).
∴k₁=,k₂=,k₃=,k₃=.
∴k₁·k₂+k₃·k₄=+
=+
=0.
即k₁k₂+k₃k₄為定值,定值是0.