Question

已知函數f(x)＝2sin xcos x＋2cos²x＋m在區間上的最大值為2.
(1)求常數m的值；
(2)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△ABC的面積為，求邊長a.

Answer 1

（1）m＝－1.（2）a＝

(1)f(x)＝2sin x·cos x＋2cos²x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1.
因為x∈，所以2x＋∈.
因為函數y＝sin t在區間上是增函數，在區間上是減函數，
所以當2x＋＝，即x＝時，函數f(x)在區間上取到最大值．此時，f(x)_max＝f＝m＋3＝2，得m＝－1.
(2)因為f(A)＝1，所以2sin＝1，
即sin＝，解得A＝0(舍去)或A＝.
因為sin B＝3sin C，，所以b＝3c.①
因為△ABC的面積為，所以S_△ABC＝bcsin A＝bcsin＝，即bc＝3.②
由①和②解得b＝3，c＝1.
因為a²＝b²＋c²－2bc·cos A＝3²＋1²－2×3×1×cos，
所以a＝