Question

（本小題滿分12分）
已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面，，是上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若是的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有可能使平面？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：取AC中點(diǎn)E，AP的中點(diǎn)F，連結(jié)FE、BE、則FE∥PC，BE A C

∴FE面ABC
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則                                 
A(0,-1,0)   B(,0,0)  C(0,1,0)   P (0,1,)   F (0,1,)   …………2分
設(shè)是平面PBC的法向量，，則＝0，且＝0，∴且
取＝－1，＝－，＝0，則             …………4分
由題設(shè)是的中點(diǎn)，則D與F重合，即D的坐標(biāo)為(0,1,)
∴
                           …………6分
∴直線BD與面PBC所成角正弦值為                         …………7分（2）(0,2,) (-,1,0)                      …………9分
20 ∴AP不垂直于BC
∴AP不可能垂直于面DBC，即不存在D點(diǎn)，使AP面DBC       …………12分

解析