Question

【題目】已知過點(diǎn)作動直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).

（1）當(dāng)直線的斜率是時，，求拋物線的方程；

（2）設(shè)，的中點(diǎn)是，利用（1）中所求拋物線，試求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）（或）.

【解析】試題（1）根據(jù)得到①，再結(jié)合韋達(dá)定理，，解出即可.

(2)根據(jù)（1）中的韋達(dá)定理得到的參數(shù)方程，消去參數(shù)得點(diǎn)的軌跡方程：.

試題解析：設(shè)，，顯然，，

（1）由題意當(dāng)直線的斜率為時，其方程為：，即，

又∵，∴①，

聯(lián)立，消去得：，

∴，且，，

結(jié)合①式，可以解出，所以拋物線方程是：.

（2）當(dāng)直線垂直于軸時，其與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不符題意，

所以直線的方程可以設(shè)為：，設(shè)、中點(diǎn)，

由，消去得：，即，

由解得或，且，

∴，

∴，消去得點(diǎn)的軌跡方程：，

由的取值范圍可求出或.

∴點(diǎn)的軌跡方程：（或）.