Question

已知函數若存在函數使得恒成立，則稱是的一個“下界函數”.
（I） 如果函數為實數為的一個“下界函數”，求的取值范圍；
（Ⅱ）設函數 試問函數是否存在零點，若存在，求出零點個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I） （Ⅱ）函數不存在零點.

試題分析：（I）解法一：由 得          1分
記則                   2分
當時， 所以在上是減函數，
當時， 所以在上是增函數，     3分
因此 即                 5分
解法二：由 得 
設則                1分
（1）若由知
在上是增函數，在上是減函數，          2分
因為恒成立，所以解得      3分
（2）若當且時，
此與恒成立矛盾，故舍去；               4分
綜上得                            5分
（Ⅱ）解法一：函數
由（I）知即                6分
                 7分
設函數
（1）當時，
在上是減函數，在上是增函數，
故
因為 所以 即            8分
（2）當時，         9分
綜上知 所以函數不存在零點.              10分
解法二：前同解法一，      7分
記 則
所以在上是減函數，在上是增函數，
因此                    9分
故 所以函數不存在零點.              10分
解法三：前同解法一， 因為故         7分
設函數
因此即                    9分
故 所以函數不存在零點.                10分
解法四：前同解法一，因為故          7分
從原點作曲線的切線設切點為，
那么把點代入得所以
所以（當且僅當時取等號），即         9分
故 所以函數不存在零點.               10分
點評：中檔題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及比較大小問題，通過構造函數，轉化成了研究函數的單調性及最值。涉及函數的零點問題，研究了函數的單調性及在區間端點的函數值的符號。