Question

設［a,b］是函數y=f(x)定義域內的一個閉區間.如果對任意的x₁、x₂∈［a,b］且x₁≠x₂,有f()＞［f(x₁)+f(x₂)］,那么稱函數y=f(x)在區間［a,b］上為凸函數;如果對任意的x₁、x₂∈［a,b］,且x₁≠x₂,有f()＜［f(x₁)+f(x₂)］,那么稱函數y=f(x)在區間［a,b］上為凹函數.

(1)判定函數f(x)=x在定義域［0,+∞)上是凹函數還是凸函數,并證明你的結論.

(2)判定函數f(x)=2^x在定義域(-∞,+∞)上是凹函數還是凸函數,并證明之.

Answer 1

解:(1)函數y=x的圖象如下:

由圖形易知,任給x₁、x₂∈［0,+∞),

＞(),

∴函數f(x)=在［0,+∞)上為凸函數.

證明:任取x₁、x₂∈［0,+∞),且x₁≠x₂,

()²-［()］²

=(x₁+x₂-2)=()²＞0,

∴()²＞［()］².

∴＞(),

即滿足f()＞［f(x₁)+f(x₂)］.

∴函數f(x)=x在［0,+∞)上是凸函數.

(2)函數f(x)=2^x圖象如下.

從圖形知在(-∞,+∞)上函數y=2^x是凹函數.

證明:任取x₁、x₂∈(-∞,+∞)且x₁≠x₂,

則2-()=-(-2)=-()².

∵x₁≠x₂,∴≠,即.

∴-()²＜0,即2＜().

∴函數f(x)=2^x在(-∞,+∞)上是凹函數.