Question

對于一般的三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a≠0）定義：設(shè)f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f'（x）的導數(shù)．若f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”，現(xiàn)已知：g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），請解答下列問題：
（Ⅰ）．若y=g（x）是R上的增函數(shù)，求證a=b=c；
（Ⅱ）在（Ⅰ）．的條件下，求函數(shù)y=g（x）的“拐點”A的坐標，并證明函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于“拐點”A成中心對稱．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)，然后根據(jù)y=g（x）是R上的增函數(shù)得g'（x）≥0在R上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)恒大于等于零建立不等關(guān)系可求出a、b、c的關(guān)系；
（II）先求出函數(shù)g（x）的二階導數(shù)，令g''（x）=0，求出拐點A的坐標，設(shè)函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點（x，y）則關(guān)于（a，0）的對稱點為（2a-x，-y），證明點（2a-x，-y）也在函數(shù)y=g（x）圖象上，從而證得結(jié)論．

解答：解：（I）∵g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），
∴g'（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）
=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac，
∵y=g（x）是R上的增函數(shù)，
∴g'（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4（a+b+c）²-12（ab+bc+ac）≤0
則2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ac）≤0即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0
∴a=b=c；
（II）由（I）得y=g（x）=（x-a）³
g'（x）=3（x-a）²，g''（x）=6（x-a）=0
解得x=a
∴函數(shù)y=g（x）的“拐點”A的坐標為（a，0）
設(shè)函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點（x，y）則關(guān)于（a，0）的對稱點為（2a-x，-y）
根據(jù)g（2a-x）=（a-x）³=-g（x）可知點（2a-x，-y）也在函數(shù)y=g（x）圖象上
∴函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于“拐點”A（a，0）成中心對稱．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的應(yīng)用，同時考查了圖形的對稱問題，屬于中檔題．