Question

從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加. 

(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業總收入為b_n萬元，寫出a_n,b_n的表達式；

(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？

Answer 1

解析:

(1)第1年投入為800萬元，

第2年投入為800×(1－)萬元，…

第n年投入為800×(1－)^n－1萬元，

所以，n年內的總投入為:

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1

=800×(1－)^k－1=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游業收入為400萬元，

第2年旅游業收入為400×(1+)，…，

第n年旅游業收入400×(1+)^n－1萬元 

所以，n年內的旅游業總收入為

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1

=400×()^k－1=1600×［()ⁿ－1］

(2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此b_n－a_n＞0，即1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，

令x=()ⁿ，代入上式得: 5x²－7x+2＞0 

解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去) 

即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.